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リーマンテンソルに関する諸公式

#general-relativity

リーマンテンソル

以前の記事（リーマンテンソル・リッチテンソル・リーマン曲率）にて、リーマンテンソルとは空間の曲がりぐあいを表す量でした。平坦な空間で、ベクトルを並行移動させ閉曲線をぐるっと一周させても、ベクトル自体は変化しないですが、曲がった空間だとそうはなりません。つまり、リーマンテンソルとは、曲がった空間においてベクトルの閉曲線上で並行移動させ、並行移動前後でのベクトルの差のことです。

リーマン (Riemann) テンソルにはいくつか性質やそれにまつわる公式が存在します。この記事では、リーマンテンソルと、それを使って表されるアインシュタインテンソルの性質を、証明付きで載せています。

ちなみに、リーマンテンソルは

Rμναβ≡∂αΓμνβ−∂βΓμνα+ΓμσαΓσνβ−ΓμσβΓσνα\begin{align} {R^\mu}_{\nu\alpha\beta} \equiv \partial_\alpha {\Gamma^\mu}_{\nu\beta} - \partial_\beta {\Gamma^\mu}_{\nu\alpha} + {\Gamma^\mu}_{\sigma\alpha} {\Gamma^\sigma}_{\nu\beta} - {\Gamma^\mu}_{\sigma\beta} {\Gamma^\sigma}_{\nu\alpha} \end{align}

です！クリストッフェル記号Γλμν{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}は（測地線方程式の導出）などを参考にしてください。

1. 対称・反対称な添字

リーマンテンソル (1)式をよく睨んでみますと、添字α\alphaとβ\betaについて対称です。対称な項をいちいち書くと面倒なので、次のような記法を導入しておきます：

Rμναβ=∂αΓμνβ+ΓμσαΓσνβ−(α↔β) {R^\mu}_{\nu\alpha\beta} = \partial_\alpha {\Gamma^\mu}_{\nu\beta} + {\Gamma^\mu}_{\sigma\alpha} {\Gamma^\sigma}_{\nu\beta} - (\alpha \leftrightarrow \beta)

これによって、大幅に覚えることが少なくなりました。

計量テンソルでgμλg_{\mu\lambda}でリーマンテンソルRλναβ{R^\lambda}_{\nu\alpha\beta}の上付き添字を下げた4階共変テンソルを考えてみましょう。つまり

Rμν,αβ=gμλRλναβ R_{\mu\nu,\alpha\beta} = g_{\mu\lambda} {R^\lambda}_{\nu\alpha\beta}

です（カンマはこの後すぐの議論の見やすさのためにいれています）。このテンソルは(μ↔ν)(\mu \leftrightarrow \nu)の入れ替え、(α↔β)(\alpha \leftrightarrow \beta)の入れ替えについて反対称で、ペアの入れ替え((μ,ν)↔(α,β))((\mu, \nu) \leftrightarrow (\alpha, \beta))に対称です。つまり、

Rμν,αβ=Rαβ,μν=−Rνμ,αβ=−Rμν,βα R_{\mu\nu, \alpha\beta} = R_{\alpha\beta, \mu\nu} = - R_{\nu\mu, \alpha\beta} = - R_{\mu\nu, \beta\alpha}

が成り立ちます。

2. 反変ベクトルに共変微分の交換関係を作用させる

共変微分自体、並行移動に関係する概念でした。これをリーマンテンソルを定義した議論のときの２通りの並行移動後のベクトルの差をとることと同様に、共変微分を２通り用意してベクトルに作用させて差をとってみましょう：

(∇μ∇ν−∇ν∇μ)Vα≡[∇μ,∇ν]Vα=RαβμνVβ\begin{align} ( \nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu ) V^\alpha \equiv [\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\alpha = {R^\alpha}_{\beta \mu\nu} V^\beta \end{align}

このようにリーマンテンソルが現れます。

Check‾\underline{\textit{Check}}

[∇μ,∇ν]Vα=∇μ(∇νVα)−(μ↔ν)=∂μ(∇νVα)−Γλμν∇λVα+Γαμλ∇νVλ−(μ↔ν)=∂μ(∂νVα+ΓανβVβ)−Γλμν(∂λVα+ΓαλβVβ)+Γαμλ(∂νVλ+ΓλνβVβ)−(μ↔ν)\begin{align} [\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\alpha &= \nabla_\mu (\nabla_\nu V^\alpha) - (\mu \leftrightarrow \nu) \notag \\ &= \partial_\mu (\nabla_\nu V^\alpha) - {\Gamma^\lambda}_{\mu\nu} \nabla_\lambda V^\alpha + {\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda} \nabla_\nu V^\lambda - (\mu \leftrightarrow \nu) \notag \\ &= \textcolor{red}{\partial_\mu ( \partial_\nu V^\alpha} + {\Gamma^\alpha}_{\nu\beta} V^\beta ) \notag \\ &\qquad \textcolor{red}{- {\Gamma^\lambda}_{\mu\nu} ( \partial_\lambda V^\alpha + {\Gamma^\alpha}_{\lambda\beta} V^\beta )} \notag \\ &\qquad + {\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda} ( \partial_\nu V^\lambda + {\Gamma^\lambda}_{\nu\beta} V^\beta ) - (\mu \leftrightarrow \nu) \notag \\ \end{align}

とまで計算できます。ここで赤色の項がそれぞれ(μ↔ν)(\mu \leftrightarrow \nu)の中に異符号で現れるのでキャンセルされます。 すると、

[∇μ,∇ν]Vα=(∂μΓανβ)Vβ+Γανβ∂μVβ+Γαμλ∂νVλ+ΓαμλΓλνβVβ−(∂νΓαμβ)Vβ−Γαμβ∂νVβ−Γανλ∂μVλ−ΓανλΓλμβVβ\begin{align} [\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\alpha &= (\partial_\mu {\Gamma^\alpha}_{\nu\beta}) V^\beta \textcolor{red}{+ {\Gamma^\alpha}_{\nu\beta} \partial_\mu V^\beta} \notag \\ &\qquad \textcolor{blue}{+ {\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda} \partial_\nu V^\lambda} + {\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda} {\Gamma^\lambda}_{\nu\beta} V^\beta \notag \\ &\qquad - (\partial_\nu {\Gamma^\alpha}_{\mu\beta}) V^\beta \textcolor{blue}{- {\Gamma^\alpha}_{\mu\beta} \partial_\nu V^\beta} \notag \\ &\qquad \textcolor{red}{- {\Gamma^\alpha}_{\nu\lambda} \partial_\mu V^\lambda} - {\Gamma^\alpha}_{\nu\lambda} {\Gamma^\lambda}_{\mu\beta} V^\beta \notag \end{align}

となります。この式では同じ色同士がキャンセルされます。 よって最終的に

[∇μ,∇ν]Vα=(∂μΓανβ−∂νΓαμβ+ΓαμλΓλνβ−ΓανλΓλμβ)Vβ=RαβμνVβ [\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\alpha = ( \partial_\mu {\Gamma^\alpha}_{\nu\beta} - \partial_\nu {\Gamma^\alpha}_{\mu\beta} + {\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda} {\Gamma^\lambda}_{\nu\beta} - {\Gamma^\alpha}_{\nu\lambda} {\Gamma^\lambda}_{\mu\beta} ) V^\beta = {R^\alpha}_{\beta\mu\nu} V^\beta

を示すことができました。 ■\blacksquare

3. 共変微分のヤコビ恒等式

非可換の演算について一般に成り立つヤコビ (Jacobi) 恒等式は、もちろん共変微分についても成り立ちます：

[∇λ,[∇μ,∇ν]]+[∇μ,[∇ν,∇λ]]+[∇ν,[∇λ,∇μ]]=0\begin{align} [ \nabla_\lambda, [ \nabla_\mu, \nabla_\nu ] ] + [ \nabla_\mu, [ \nabla_\nu, \nabla_\lambda ] ] + [ \nabla_\nu, [ \nabla_\lambda, \nabla_\mu ] ] = 0 \end{align}

Check‾\underline{\textit{Check}}

[∇λ,[∇μ,∇ν]]+[∇μ,[∇ν,∇λ]]+[∇ν,[∇λ,∇μ]]=∇λ(∇μ∇ν−∇ν∇μ)−(∇μ∇ν−∇ν∇μ)∇λ+∇μ(∇ν∇λ−∇λ∇ν)−(∇ν∇λ−∇λ∇ν)∇μ+∇ν(∇λ∇μ−∇μ∇λ)−(∇λ∇μ−∇μ∇λ)∇ν=∇λ∇μ∇ν−∇λ∇ν∇μ−∇μ∇ν∇λ+∇ν∇μ∇λ+∇μ∇ν∇λ−∇μ∇λ∇ν−∇ν∇λ∇μ+∇λ∇ν∇μ+∇ν∇λ∇μ−∇ν∇μ∇λ−∇λ∇μ∇ν+∇μ∇λ∇ν=0\begin{align} & [ \nabla_\lambda, [ \nabla_\mu, \nabla_\nu ] ] + [ \nabla_\mu, [ \nabla_\nu, \nabla_\lambda ] ] + [ \nabla_\nu, [ \nabla_\lambda, \nabla_\mu ] ] \notag \\ &= \nabla_\lambda ( \nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu ) - ( \nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu ) \nabla_\lambda \notag \\ &\qquad + \nabla_\mu ( \nabla_\nu \nabla_\lambda - \nabla_\lambda \nabla_\nu ) - ( \nabla_\nu \nabla_\lambda - \nabla_\lambda \nabla_\nu ) \nabla_\mu \notag \\ &\qquad + \nabla_\nu ( \nabla_\lambda \nabla_\mu - \nabla_\mu \nabla_\lambda ) - ( \nabla_\lambda \nabla_\mu - \nabla_\mu \nabla_\lambda ) \nabla_\nu \notag \\ &= \textcolor{red}{\nabla_\lambda \nabla_\mu \nabla_\nu} \textcolor{blue}{- \nabla_\lambda \nabla_\nu \nabla_\mu} \textcolor{green}{- \nabla_\mu \nabla_\nu \nabla_\lambda} \textcolor{orange}{+ \nabla_\nu \nabla_\mu \nabla_\lambda} \notag \\ &\qquad \textcolor{green}{+ \nabla_\mu \nabla_\nu \nabla_\lambda} \textcolor{magenta}{- \nabla_\mu \nabla_\lambda \nabla_\nu} - \nabla_\nu \nabla_\lambda \nabla_\mu \textcolor{blue}{+ \nabla_\lambda \nabla_\nu \nabla_\mu} \notag \\ &\qquad + \nabla_\nu \nabla_\lambda \nabla_\mu \textcolor{orange}{- \nabla_\nu \nabla_\mu \nabla_\lambda} \textcolor{red}{- \nabla_\lambda \nabla_\mu \nabla_\nu} \textcolor{magenta}{+ \nabla_\mu \nabla_\lambda \nabla_\nu} = 0 \notag \end{align}

のように同じ色の項がキャンセルして、ヤコビ恒等式を示せます。 ■\blacksquare

4. (1,1)型混合テンソルに共変微分の交換関係を作用させる

後のために、(1,1)型混合テンソルTαβ{T^\alpha}_\betaに共変微分の交換関係を作用させた結果

[∇μ,∇ν]Tαβ=RαλμνTλβ−RλβμνTαλ\begin{align} [\nabla_\mu, \nabla_\nu] {T^\alpha}_\beta = {R^\alpha}_{\lambda\mu\nu} {T^\lambda}_\beta - {R^\lambda}_{\beta\mu\nu} {T^\alpha}_\lambda \end{align}

を求めてみましょう。これはアインシュタイン (Einstein) テンソルの共変微分が０になるというビアンキ (Bianchi) 恒等式へ導出するための道具となります。

Check‾\underline{\textit{Check}}

  1. テンソルTαβ{T^\alpha}_\betaの変換性が反変ベクトルVαV^\alphaと共変ベクトルωβ\omega_\betaの積と同じこと、
  2. [∇μ,∇ν][\nabla_\mu, \nabla_\nu]が微分演算子であり、ライプニッツルールに従うこと、
  3. [∇μ,∇ν]ωβ=−Rλβμνωλ[\nabla_\mu, \nabla_\nu] \omega_\beta = - {R^\lambda}_{\beta\mu\nu} \omega_\lambdaであること、

を用いると、Tαβ=Vαωβ{T^\alpha}_\beta = V^\alpha \omega_\betaと書くことにして、

[∇μ,∇ν]Tαβ=([∇μ,∇ν]Vα)ωβ+Vα([∇μ,∇ν]ωβ)=RαλμνVλωβ−RλβμνVαωλ=RαλμνTλβ−RλβμνTαλ\begin{align} [\nabla_\mu, \nabla_\nu] {T^\alpha}_\beta &= ([\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\alpha) \omega_\beta + V^\alpha( [\nabla_\mu, \nabla_\nu] \omega_\beta) \notag \\ &= {R^\alpha}_{\lambda\mu\nu} V^\lambda \omega_\beta - {R^\lambda}_{\beta\mu\nu} V^\alpha \omega_\lambda \notag \\ &= {R^\alpha}_{\lambda\mu\nu} {T^\lambda}_\beta - {R^\lambda}_{\beta\mu\nu} {T^\alpha}_\lambda \notag \end{align}

と、示すことができました。 ■\blacksquare

5. 第一ビアンキ恒等式

Rλαβγ+Rλβγα+Rλγαβ=0\begin{align} {R^\lambda}_{\alpha\beta\gamma} + {R^\lambda}_{\beta\gamma\alpha} + {R^\lambda}_{\gamma\alpha\beta} = 0 \end{align}

Check‾\underline{\textit{Check}}

Rλαβγ+Rλβγα+Rλγαβ=∂αΓλβγ−∂γΓλαβ+ΓλβκΓκαγ−ΓλκγΓκαβ+∂βΓλγα−∂αΓλβγ+ΓλγκΓκβα−ΓλκαΓκβγ+∂γΓλαβ−∂βΓλγα+ΓλακΓκγβ−ΓλκβΓκγα=0\begin{align} &\quad {R^\lambda}_{\alpha\beta\gamma} + {R^\lambda}_{\beta\gamma\alpha} + {R^\lambda}_{\gamma\alpha\beta} \notag \\ &= \textcolor{red}{\partial_\alpha {\Gamma^\lambda}_{\beta\gamma}} \textcolor{blue}{- \partial_\gamma {\Gamma^\lambda}_{\alpha\beta}} \textcolor{green}{+ {\Gamma^\lambda}_{\beta\kappa} {\Gamma^\kappa}_{\alpha\gamma}} \textcolor{orange}{- {\Gamma^\lambda}_{\kappa\gamma} {\Gamma^\kappa}_{\alpha\beta}} \notag \\ &\qquad \textcolor{magenta}{+ \partial_\beta {\Gamma^\lambda}_{\gamma\alpha}} \textcolor{red}{- \partial_\alpha {\Gamma^\lambda}_{\beta\gamma}} \textcolor{orange}{+ {\Gamma^\lambda}_{\gamma\kappa} {\Gamma^\kappa}_{\beta\alpha}} - {\Gamma^\lambda}_{\kappa\alpha} {\Gamma^\kappa}_{\beta\gamma} \notag \\ &\qquad \textcolor{blue}{+ \partial_\gamma {\Gamma^\lambda}_{\alpha\beta}} \textcolor{magenta}{- \partial_\beta {\Gamma^\lambda}_{\gamma\alpha}} + {\Gamma^\lambda}_{\alpha\kappa} {\Gamma^\kappa}_{\gamma\beta} \textcolor{green}{- {\Gamma^\lambda}_{\kappa\beta} {\Gamma^\kappa}_{\gamma\alpha}} \notag \\ &= 0 \notag \end{align}

と計算できて（同じ色がキャンセルします）、第一ビアンキ恒等式が示されました。 ■\blacksquare

6. 第二ビアンキ恒等式

∇αRμνβγ+∇βRμνγα+∇γRμναβ=0\begin{align} \nabla_{\alpha} {R^\mu}_{\nu\beta\gamma} + \nabla_{\beta} {R^\mu}_{\nu\gamma\alpha} + \nabla_{\gamma} {R^\mu}_{\nu\alpha\beta} = 0 \end{align}

Check‾\underline{\textit{Check}}

共変微分のヤコビ恒等式をベクトルVμV^\muに作用させることで、導くことができます：

0=([∇γ,[∇α,∇β]]+[∇α,[∇β,∇γ]]+[∇β,[∇γ,∇α]])Vμ=[∇γ,[∇α,∇β]]Vμ+cyclic term=∇γ([∇α,∇β]Vμ)−[∇α,∇β](∇γVμ)+cyclic term\begin{align} 0 &= ( [ \nabla_\gamma, [ \nabla_\alpha, \nabla_\beta ] ] + [ \nabla_\alpha, [ \nabla_\beta, \nabla_\gamma ] ] + [ \nabla_\beta, [ \nabla_\gamma, \nabla_\alpha ] ] ) V^\mu \notag \\ &= [ \nabla_\gamma, [ \nabla_\alpha, \nabla_\beta ] ] V^\mu + \text{cyclic term} \notag \\ &= \nabla_\gamma ([\nabla_\alpha, \nabla_\beta] V^\mu) - [\nabla_\alpha, \nabla_\beta] (\nabla_\gamma V^\mu) + \text{cyclic term} \notag \end{align}

となりますが、ここで第一項は(2)式、第二項は(4)式を用いることで計算できます。なぜなら、共変微分は共変ベクトルとしての変換性をもち、それによって(∇γVμ)(\nabla_\gamma V^\mu)が(1,1)型混合テンソルとしての変換性をもつためです。ちなみに、cyclic term\text{cyclic term}とは、α→β→γ\alpha \to \beta \to \gammaのように添字を入れ替えた項が隠れているという意味です。それぞれの式を適用させると、

0=∇γ(RμναβVν)−(Rμναβ∇γVν−Rλγαβ∇λVμ)+cyclic term=(∇γRμναβ)Vν+Rμναβ∇γVν−Rμναβ∇γVμ+Rλγαβ∇λVμ+cyclic term=(∇γRμναβ+cyclic term)Vν+(Rλγαβ+cyclic term)∇λVμ\begin{align} 0 &= \nabla_\gamma ({R^\mu}_{\nu \alpha\beta} V^\nu) - ( {R^\mu}_{\nu\alpha\beta} \nabla_\gamma V^\nu - {R^\lambda}_{\gamma\alpha\beta} \nabla_\lambda V^\mu ) + \text{cyclic term} \notag \\ &= (\nabla_\gamma {R^\mu}_{\nu \alpha\beta}) V^\nu \textcolor{red}{+ {R^\mu}_{\nu \alpha\beta} \nabla_\gamma V^\nu} \textcolor{red}{- {R^\mu}_{\nu\alpha\beta} \nabla_\gamma V^\mu} + {R^\lambda}_{\gamma\alpha\beta} \nabla_\lambda V^\mu + \text{cyclic term} \notag \\ &= ( \nabla_\gamma {R^\mu}_{\nu \alpha\beta} + \text{cyclic term} ) V^\nu + ( {R^\lambda}_{\gamma\alpha\beta} + \text{cyclic term} ) \nabla_\lambda V^\mu \end{align}

となります。赤文字はキャンセルした項を表しています。この式の第二項は第一ビアンキ恒等式ですので０になります。任意のベクトルVνV^\nuについてこの式が成り立つためには

∇γRμναβ+cyclic term=0 \nabla_\gamma {R^\mu}_{\nu \alpha\beta} + \text{cyclic term} = 0

が要請されるので、これはまさに示したかった第二ビアンキ恒等式となります。 ■\blacksquare

7. アインシュタインテンソルの発散が０

∇μGμν=0\begin{align} \nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0 \end{align}

（どうでもいい注）この式があるからこそ、アインシュタイン方程式Gμν=8πGTμνG_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}は∇μTμν=0\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0というエネルギー・運動量保存則を自動的に満たすのです！

Check‾\underline{\textit{Check}}

∇αRμνβγ+∇βRμνγα+∇γRμναβ=0\begin{align} \nabla_\alpha {R^\mu}_{\nu\beta\gamma} + \nabla_\beta {R^\mu}_{\nu\gamma\alpha} + \nabla_\gamma {R^\mu}_{\nu\alpha\beta} = 0 \notag \end{align}

に対して、μ\muとβ\betaで縮約をとります。つまりβ=μ\beta = \muとしますと、

∇αRνγ+∇μRμνγα−∇γRνα=0\begin{align} \nabla_\alpha R_{\nu\gamma} + \nabla_\mu {R^\mu}_{\nu\gamma\alpha} - \nabla_\gamma R_{\nu\alpha} = 0 \notag \end{align}

とリッチ（Ricci）テンソルでかける項が現れます。さらにgνγg^{\nu\gamma}掛けてさらに縮約をすすめると、

∇αR−∇μRμα−∇νRνα=0⇒∇μ(Rμα−12gμαR)=0\begin{align} \nabla_\alpha R - \nabla^\mu R_{\mu\alpha} - \nabla^\nu R_{\nu\alpha} &= 0 \notag \\ \Rightarrow \nabla^\mu ( R_{\mu\alpha} - \frac{1}{2} g_{\mu\alpha} R ) &= 0 \notag \end{align}

となり、∇μGμν=0\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0が成り立つことが示されました！ ■\blacksquare

あとがき

やっぱりテンソル（の成分）の計算ってめんどくさい笑

ビアンキ恒等式の証明を忘れていたので、もう一度示すのが大変でした。 昔のノートはいったいどこに消えたのかわかりませんが、今後はこのようにしてデジタル媒体に残しておかないと、また計算しないといけない時に大変な目にあっていしまいます。

複雑な計算は絶対わすれるので、Webに残そう！

読んでる本：須山輝明『重力波』(2025),SGCライブラリ

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