はじめに

この記事は統計学入門¹のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

問題

二つの物体$A, B$の重さ$m_A, m_B$を測りたい。$A, B$のそれぞれを天秤の片側に載せて測る方法(I)と、まず一方に$A,B$両方を乗せて重さの和を測り、また天秤の両側に乗せて差を測りそこから算出する方法(II)がある。I, IIのどちらの方が優れた方法か。ただし、天秤の測定誤差の分散はつねに$\sigma^2$とする。

解答

I, IIで測定誤差の分散が、どちらのほうが小さいかという問題です。Iの分散は自明なので、IIの場合を計算しましょう。

$A, B$それぞれの測定誤差を確率変数とし、それを$X_A, X_B$で表すとします。このとき(II)の方法に対応する新しい確率変数

$$Y = \frac{X_a + X_b}{2}\,, \quad Z = \frac{X_a - X_b}{2}$$

を定義しておきます。この確率分布の分散は、分散の性質

$$V[aX + bY] = a^2 V[X] + b^2 V[Y] + 2ab\, {\rm Cov}[X, Y]$$

から、

$$\begin{align*} V[Y] &= V\left[ \frac{X_a + X_b}{2} \right] \\[8pt] &= \frac{1}{4} V[X_a + X_b] \\[8pt] &= \frac{1}{4} (V[X_a] + V[X_b]) \\[8pt] &= \frac{\sigma^2}{2} \end{align*}$$

となります。$V[Z]$も同様に計算できて、どちらの場合も$\sigma^2/2$となります。

よって、(II)の方法が測定誤差の分散が小さく、優れていると言えます。

参考文献

リポジトリ

Footnotes

1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩