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統計学入門 第6章の問題 6.8 ベータ分布

統計学確率

はじめに

この記事は統計学入門1のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

問題

ベータ分布のモードを求めよ。

解答

モードとは分布関数のf(x)f(x)が最大となるxxの値x0x_0です。 いまベータ分布とは

f(x)=xα−1(1−x)β−1B(α,β)whereα,β>0 f(x) = \frac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)} \quad \text{where} \quad \alpha, \beta > 0

です。B(α,β)B(\alpha, \beta)はベータ関数で、

B(α,β)=∫01dx xα−1(1−x)β−1whereα,β>0 B(\alpha, \beta) = \int_0^1 {\rm d}x\, x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1} \quad \text{where} \quad \alpha, \beta > 0

と表されますが、定数です。今回の問題では重要ではありません

したがって、xxで微分してみると

df(x)dx=1B(α,β)[(α−1)xα−2(1−x)β−1+xα−1⋅(β−1)(1−x)β−2⋅(−1)]=xα−2(1−x)β−2B(α,β)[(α−1)(1−x)+(β−1)x]\begin{align*} \frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x} &= \frac{1}{B(\alpha, \beta)} \left[ (\alpha - 1) x^{\alpha - 2} (1 - x)^{\beta - 1} + x^{\alpha - 1} \cdot (\beta - 1) (1 - x)^{\beta - 2} \cdot (-1) \right] \\ &= \frac{x^{\alpha -2} (1 - x)^{\beta - 2}}{B(\alpha, \beta)} \left[ (\alpha - 1)(1 - x) + (\beta - 1)x \right] \\ \end{align*}

となります。よって、モードは

x0=α−1α+β−2 x_0 = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}

となります。

参考文献

リポジトリ

Footnotes

  1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩

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