はじめに

この記事は統計学入門¹のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

$(i)$

確率変数$X$が指数分布に従うとき、

$$P(X > a + b\, | \, X > a) = P(X > b)$$

を示せ。またこの意味は何か？

$(ii)$

指数分布${\cal Ex}(x; \lambda)$の密度関数$f(x)$、累積分布関数を$F(x)$とする。関数

$$\lambda(x) := \frac{f(x)}{1 - F(x)}$$

は定数となり、$\lambda$に等しいことを示せ。この$\lambda(x)$を瞬間故障率という。

問題

$(i)$

指数分布の分布関数は

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\, \quad (x \geq 0)$$

です（$x < 0$の場合は0）。問題文にあるのは条件付き確率であり、$x = a$の時点でイベントが起き、$a + b$の時点でもイベントが起きる条件付き確率を計算させています。よって、

$$P(X > a + b\, | \, X > a) = \frac{P(X > a + b)}{P(X > a)} = \frac{e^{- \lambda(a + b)}}{e^{- \lambda a}} = e^{- \lambda b}$$

となります。一方、$P(X > b)$は

$$P(X > b) = e^{- \lambda b}$$

となります。よって、

$$P(X > a + b\, | \, X > a) = P(X > b)$$

となります。

この意味は、ある時間$x$でイベントが起きる確率は、その時間$x$がどれだけ長いかに関係なく、常に同じ確率であるということを表しているということです。感覚的には、あるイベントが起きると、また連続して起きやすい・起きにくいんじゃないかと勘繰ってしまうかもしれませんが、そんなことはなく、過去の履歴に関わらず、常に同じ確率であるということを表しているということです。

$(ii)$

累積確率分布は

$$\begin{align*} F(x) &= \int_{-\infty}^{x} f(t) {\rm d}t \\ &= \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} {\rm d}t \\ &= 1 - e^{-\lambda x}\, \quad (x \geq 0) \end{align*}$$

です。よって、

$$\lambda(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = \frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}} = \lambda$$

と定数になります。故障する時間がこの指数分布に従うとするならば、ある時間$x$で故障する確率は常に同じ確率であるということを表しており、記憶喪失性が反映されています。

解答

Footnotes

1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩