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統計学入門 第6章の問題 6.5 密度関数の規格化

#統計学#確率

はじめに

この記事は統計学入門1のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

問題

f(x)=c(1−x2) (−1≤x≤1), 0 (otherwise)f(x) = c(1 - x^2)\, (-1 \leq x \leq 1), \, 0\, (\text{otherwise})が確立密度関数となるように定数ccを求めよ。また、この確率分布の期待値、分散、歪度、尖度を求めよ。

解答

規格化の条件により

1=∫−∞∞dx f(x)=c∫−11dx (1−x2)=2c∫01dx (1−x2)=2c(1−13)=43c\begin{align*} 1 &= \int_{-\infty}^{\infty} {\rm d}x \, f(x) \\ &= c \int_{-1}^1 {\rm d}x \, (1 - x^2) \\ &= 2c \int_{0}^1 {\rm d}x \, (1 - x^2) \\ &= 2c \left(1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} c \end{align*}

となります。よって、

c=34 c = \frac{3}{4}

と求まります。

また、期待値、分散、歪度、尖度を計算するために1次から4次のモーメントを求めると

E[X]=34∫−11dx x(1−x2)=0 ,E[X2]=34∫−11dx x2(1−x2)=15 ,E[X3]=34∫−11dx x3(1−x2)=0 ,E[X4]=34∫−11dx x4(1−x2)=335 ,\begin{align} E[X] &= \frac{3}{4} \int_{-1}^{1} {\rm d}x \, x (1 - x^2) = 0\,, \\ E[X^2] &= \frac{3}{4} \int_{-1}^{1} {\rm d}x \, x^2 (1 - x^2) = \frac{1}{5}\,, \\ E[X^3] &= \frac{3}{4} \int_{-1}^{1} {\rm d}x \, x^3 (1 - x^2) = 0\,, \\ E[X^4] &= \frac{3}{4} \int_{-1}^{1} {\rm d}x \, x^4 (1 - x^2) = \frac{3}{35}\,, \\ \end{align}

となります。期待値μ=E[X]=0\mu = E[X] = 0、分散はσ2=V[X]=E[X2]−(E[X])2=15\sigma^2 = V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{5}、歪度はS3=E[(X−μ)3]/σ3=0S_{3} = E[(X - \mu)^3] / \sigma^3 = 0、尖度はK4=E[(X−μ)4]/σ4−3=−67K_{4} = E[(X - \mu)^4] / \sigma^4 - 3 = - \frac{6}{7}となります。

Footnotes

  1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩

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