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統計学入門 第6章 二項分布

#統計#確率

はじめに

この記事は統計学入門1のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

二項分布

ベルヌーイ試行

ある事象において成功の確率をpp、失敗の確率をq=1−pq = 1 - pとしたときに、毎回同じ条件でかつ独立に試行をnn回行うことを考えます。この試行をベルヌーイ試行と言います。

二項分布

いま、成功がxx回、失敗がn−xn-x回であるとき、その確率分布は

f(x)=nCxpxqn−x\begin{align} f(x) = {}_{n} C_x p^x q^{n-x} \end{align}

と与えられます。この確率分布を二項分布 (binomial distribution) と言いBi(n,p){\rm Bi}(n, p)で表します。この分布は確率の条件∑xf(x)=1\sum_x f(x) = 1を確かに満たしており、二項定理により

∑x=0nf(x)=∑x=0nnCxpxqn−x=(p+q)n=1\begin{align} \sum_{x=0}^{n} f(x) = \sum_{x=0}^{n} {}_{n} C_x p^x q^{n-x} = (p + q)^n = 1 \end{align}

です。

二項分布の期待値と分散

期待値は定義より

E[X]=∑x=0nxf(x)=∑x=0nx⋅nCxpxqn−x\begin{align*} E[X] &= \sum_{x=0}^{n} x f(x) \\[8pt] &= \sum_{x=0}^{n} x\cdot {}_{n} C_x p^x q^{n-x} \end{align*}

であり、ここで組み合わせの数が

x⋅nCx=x⋅n!x!(n−x)!=n⋅(n−1)!(x−1)!{(n−1)−(x−1)}!=n⋅n−1Cx−1\begin{align*} x\cdot {}_{n} C_x &= x \cdot \frac{n!}{x!(n-x)!} \\[8pt] &= n\cdot \frac{(n - 1)!}{(x-1)!\{(n - 1)-(x - 1)\}!} \\[8pt] &= n\cdot {}_{n-1} C_{x-1} \end{align*}

となることから、

E[X]=∑x=0nx⋅nCxpxqn−x（x=0は0に注意）=∑x=1nn⋅n−1Cx−1pxqn−x=np∑x=1nn−1Cx−1px−1qn−x=np∑y=0nn−1Cypyq(n−1)−y(y=x−1)=np∑y=0nBi(n−1,p)=np⋅1=np\begin{align*} E[X] &= \sum_{x=0}^{n} x\cdot {}_{n} C_x p^x q^{n-x} \qquad \text{（$x=0$は0に注意）} \\[8pt] &= \sum_{x=1}^{n} n\cdot {}_{n-1} C_{x-1} p^x q^{n-x} \\[8pt] &= np \sum_{x=1}^{n} {}_{n-1} C_{x-1} p^{x-1} q^{n-x} \\[8pt] &= np \sum_{y=0}^{n} {}_{n-1} C_{y} p^y q^{(n-1)-y} \qquad (y = x - 1)\\[8pt] &= np \sum_{y = 0}^n {\rm Bi}(n - 1, p) = np \cdot 1 = np \end{align*}

となります。

分散もまた同様な式変形がで求められます。まず2次のモーメントは

E[X2]=∑x=0nx2⋅nCxpxqn−x=np∑x=1nx⋅n−1Cx−1pxqn−x=np∑x=1n[(x−1)⋅n−1Cx−1px−1qn−x+n−1Cx−1px−1qn−x]=np∑x=1n[(x−1)⋅n−1Cx−1px−1qn−x+n−1Cx−1px−1qn−x]=np[∑x=1n(x−1)⋅n−1Cx−1px−1qn−x+∑x=1nn−1Cx−1pxqn−x]\begin{align*} E[X^2] &= \sum_{x=0}^{n} x^2\cdot {}_{n} C_x p^x q^{n-x} \\[8pt] &= n p \sum_{x=1}^{n} x \cdot {}_{n-1} C_{x-1} p^x q^{n-x} \\[8pt] &= n p \sum_{x=1}^{n} \left [ (x - 1) \cdot {}_{n-1} C_{x-1} p^{x - 1} q^{n - x} + {}_{n-1} C_{x-1} p^{x-1} q^{n-x} \right ] \\[8pt] &= n p \sum_{x=1}^{n} \left [ (x - 1) \cdot {}_{n-1} C_{x-1} p^{x - 1} q^{n - x} + {}_{n-1} C_{x-1} p^{x-1} q^{n-x} \right ] \\[8pt] &= n p \left [ \sum_{x=1}^{n} (x - 1) \cdot {}_{n-1} C_{x-1} p^{x - 1} q^{n - x} + \sum_{x=1}^{n} {}_{n-1} C_{x-1} p^x q^{n-x} \right ] \\[8pt] \end{align*}

ここで括弧内の第1項は

∑x=1n(x−1)⋅n−1Cx−1px−1qn−x=(n−1)p∑x=2nn−2Cx−2px−2qn−x\begin{align*} \sum_{x=1}^{n} (x - 1) \cdot {}_{n-1} C_{x-1} p^{x - 1} q^{n - x} = (n - 1) p \sum_{x=2}^{n} {}_{n-2} C_{x-2} p^{x - 2} q^{n - x} \end{align*}

であり、結局総和は1であるので

E[X2]=n(n−1)p2+np\begin{align*} E[X^2] &= n(n - 1)p^2 + np \end{align*}

となります。よって、分散は

V[X]=E[X2]−(E[X])2=n(n−1)p2+np−(np)2=np(1−p)\begin{align*} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2 \\[8pt] &= n(n - 1)p^2 + np - (np)^2 \\[8pt] &= np (1 - p) \end{align*}

と導けます。

分散はV[X]=np(1−p)V[X] = np (1 - p)で、ppについて上に凸の2次関数であり、かつ0≤p≤10 \leq p \leq 1です。このppとしての関数は明らかにp=0,1p = 0, 1で分散が0になるので、その間のp=1/2p = 1/2が2次関数の軸となります。p=1/2p = 1/2で分散が最大となり、V[X]=n/4V[X] = n/4となります。

結局確率が1/21/2のときが、成功・失敗のどちらの可能性もあり、正直どっちやねんという気持ちになります。一番当てにならないという直感が、分散が最大ということに表れています。

Footnotes

  1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩

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