統計学入門第6章超幾何分布二項分布への近似

2026-01-08

超幾何分布の二項分布への近似

超幾何分布は

\begin{align} f(x) &= \frac{ {}_M C_x \cdot {}_{N - M} C_{n - x} }{ {}_N C_n } \end{align}

で与えられます。この $N, M, n$ はそれぞれ母集団の大きさ、母集団の当たりの数、試行回数を表します。また、 $x$ は当たりの数を表します。 $N/M = p$ として、母集団とその当たりの数の比を固定したまま、 $N$ を大きくすることを考えます。

そのまま計算してもいいのですが、見通しをよくするためにポッホハマー記号を導入しておきます。ポッホハマー記号を次のように定義します：

\begin{align*} (x)_n &= \frac{x!}{(x-n)!} \\[8pt] &= (x - 1)(x - 2)\cdots(x - n + 1) \\[8pt] &= \prod_{i=0}^{n-1} (x-i) \end{align*}

このように書いておくと、組み合わせの数は

\begin{align*} {}_N C_n &= \frac{N!}{n!(N-n)!} \\[8pt] &= \frac{N(N-1)\cdots(N-n+1)}{n!} \\[8pt] &= \frac{(N)_n}{n!} \end{align*}

と表せます。また、同じ下付き添え字のポッホハマー記号で表されたもの同士の割り算は

\begin{align*} \frac{(N)_n}{(N)_x} &= (N - x)_{n - x} \qquad ({\rm where} \quad n > x) \end{align*}

と表せます。

超幾何分布を上記で説明したポッホハマー記号で表すと

\begin{align*} f(x) &= \frac{ {}_M C_x \cdot {}_{N - M} C_{n - x} }{ {}_N C_n } \\[8pt] &= \frac{ \displaystyle{\frac{(M)_x}{x!}} \cdot \displaystyle{\frac{(N-M)_{n-x}}{(n-x)!}} }{ \displaystyle{\frac{(N)_n}{n!}} } \\[8pt] &= {}_n C_x \cdot \frac{ (M)_x (N-M)_{n-x} }{ (N)_n } \end{align*}

最後の行ではポッホハマー記号とそうでない部分に分離させただけです。そうでない部分は、ちょうど組み合わせの数で書けるので、残りの因子について計算すれば良くなりました。ここで商を思い出すと、

(N)_n = (N)_x \cdot (N-x)_{n-x}

なので、

\begin{align*} \frac{ (M)_x (N-M)_{n-x} }{ (N)_n } &= \frac{ (M)_x (N-M)_{n-x} }{ (N)_x (N-x)_{n-x} } \\[8pt] &= \frac{ (M)_x }{ (N)_x } \cdot \frac{ (N-M)_{n-x} }{ (N - x)_{n-x} } \end{align*}

となります。さて、残りの因子を計算しましょう。 $\frac{ (M)_x }{ (N)_x }$ は

\begin{align} \frac{ (M)_x }{ (N)_x } &= \prod_{i = 0}^{x - 1} \frac{M - i}{N - i} \notag \\[8pt] &= \prod_{i = 0}^{x - 1} \frac{ \displaystyle{p} - \frac{i}{N} }{ 1 - \displaystyle{\frac{i}{N}} } \notag \\[8pt] &\underset{N \to \infty}{\longrightarrow} \prod_{i = 0}^{x - 1} p = p^x \end{align}

となります。また、 $\frac{ (N-M)_{n-x} }{ (N-x)_{n-x} }$ は

\begin{align} \frac{ (N - M)_{n - x} }{ (N - x)_{n - x} } &= \prod_{i=0}^{n-x-1} \frac{N - M - i}{N - x - i} \notag \\[8pt] &= \prod_{i=0}^{n-x-1} \frac{ 1 - \displaystyle{\frac{M}{N}} - \displaystyle{\frac{i}{N}} }{ 1 - \displaystyle{\frac{x + i}{N}} } \notag \\[8pt] &= \prod_{i=0}^{n-x-1} \frac{ 1 - p - \displaystyle{\frac{i}{N}} }{ 1 - \displaystyle{\frac{x + i}{N}} } \notag \\[8pt] &\underset{N \to \infty}{\longrightarrow} \prod_{i=0}^{n-x-1} (1 - p) = (1 - p)^x \end{align}

となります。したがって、 $M/N = p$ とすると、

f(x) \underset{N \to \infty}{\longrightarrow} {}_n C_x \cdot p^x (1-p)^{n-x}

となります。これは二項分布の確率密度関数となります。