統計学入門第5章の問題 5.7 正規分布の平方変換

2026-01-07

正規分布の平方変換

確率変数 $X$ が正規分布

f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}

で、 $\mu = 0$ 、 $\sigma = 1$ に従うとき、 $X^2$ の累積分布関数、密度関数、期待値、分散を求めよ。

確率変数 $X \sim {\cal N}(0, 1)$ に対して、新しい確率変数 $Y = X^2$ を考えます。累積分布関数 $F_Y(y)$ は定義より

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

です。ここで正規分布の累積分布関数を $\Phi(x) = P(X \leq x)$ と表すことにすると、 $F_Y(y)$ は

F_Y(y) = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y})

となります。

※ここの考え方は $\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \int^{-\sqrt{y}}_{-\infty} + \int^{\sqrt{y}}_{-\infty}$ のように積分範囲を分解していることをイメージすると分かりやすいかと思います。

ここで $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ という性質を用いれば、求める累積分布関数は

F_Y(y) = \Phi(\sqrt{y}) - (1 - \Phi(\sqrt{y})) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1

となります。

密度関数をこれを微分すると得られることができて、 $y \geq 0$ で

\begin{align*} f_Y(y) &= \frac{d}{dy} F_Y(y) \\ &= \frac{d}{dy} (2 \Phi(\sqrt{y}) - 1) \\ &= 2 \Phi^\prime(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2} \end{align*}

となります。よって、密度関数は

\begin{align*} f_Y(y) &= \left\{ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2} &\quad (y \geq 0)\\ 0 &\quad (y < 0) \end{aligned} \right. \end{align*}

です。

期待値は定義より

E[Y] = E[X^2] = V[X] + (E[X])^2 = 1 + 0^2 = 1

となります。

分散は定義より

\begin{align*} V[Y] &= E[Y^2] - [E(Y)]^2 \\ &= E[X^4] - 1^2 \\ &= E[X^4] - 1 \end{align*}

です。最後に $E[X^4]$ を求めましょう。準備として次の積分を考えます：

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} \,{\rm d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}

これに $- \partial/\partial a$ をとると

\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-a x^2} \,{\rm d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} a^{-3/2}

となります。もう一度 $- \partial/\partial a$ をとれば

\int_{-\infty}^{\infty} x^4 e^{-a x^2} \,{\rm d}x = \frac{3\sqrt{\pi}}{4} a^{-5/2}

となります。よって、 $E[X^4]$ は

\begin{align*} E[X^4] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x^4 e^{-x^2/2} \,{\rm d}x \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{-5/2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \cdot 4\sqrt{2} \\ &= 3 \end{align*}

となります。よって分散は

V[Y] = E[X^4] - 1 = 3 - 1 = 2

となります。

確率変数が ${\cal N}(0, 1)$ に従うとき、 $X^2$ はガンマ分布 ${\cal Ga}(1/2, 1/2)$ に従います。また、ガンマ分布 ${\cal Ga}(n/2, 1/2)$ は、自由度 $n$ の $\chi^2$ 分布と言われます。