一様分布の平方変換

問題

確率変数$X$が$[0, 1]$上の一様分布に従うとき、$Y = X^2$の累積分布関数、密度関数、期待値、分散を求めよ。

解答

新しい確率変数を$Y = X^2$とおきます。このとき確率変数$X, Y$に対する2つの密度関数の関係は、

$$f_Y(y) = f_X(x) \left| \frac{dx}{dy} \right|$$

となります。

よって、$X = [0, 1]$であることに注意すれば、確率変数$Y$の密度関数は

$$\begin{align*} f_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} \frac{1}{2\sqrt{y}} &\quad (0 \leq y \leq 1)\\ 0 &\quad (\text{otherwise}) \end{aligned} \right. \end{align*}$$

となります。

確率変数$Y$の累積分布関数は$F_Y(y) = \int_{-\infty}^{y} f_Y(y^\prime) \,{\rm d}y^\prime$なので、(i)$y < 0$、(ii)$0 \leq y < 1$、(iii)$y \geq 1$のときに場合分けする必要があります。(i)と(iii)はそれぞれ明らかに$0$と$1$なので、(ii)を計算すればよいです。実際に計算すると、

$$\begin{align*} F_Y(y) &= \int_{-\infty}^{y} f_Y(y^\prime) \,{\rm d}y^\prime \ &= \int_{0}^{y} \frac{1}{2\sqrt{y^\prime}} \,{\rm d}y^\prime \ &= \sqrt{y} \end{align*}$$

なので、したがって累積分布関数は

$$F_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} 0 &\quad (y < 0)\\ \sqrt{y} &\quad (0 \leq y < 1)\\ 1 &\quad (y \geq 1) \end{aligned} \right.$$

となります。

期待値は

$$\begin{align*} E(Y) &= \int_{-\infty}^{\infty} y f_Y(y) \,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{1} y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{y}}{2} \,{\rm d}y \\ &= \left[ \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{3} y^{3/2} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{3} \end{align*}$$

です。

分散を求めるために2次のモーメントを計算すると、

$$\begin{align*} E(Y^2) &= \int_{-\infty}^{\infty} y^2 f_Y(y) \,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{1} y^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{1} \frac{y^{3/2}}{2} \,{\rm d}y \\ &= \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} y^{5/2} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{5} \end{align*}$$

となります。よって分散は

$$\begin{align*} V(Y) &= E(Y^2) - [E(Y)]^2 \\ &= \frac{1}{5} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{4}{45} \end{align*}$$

となります。

参考資料

• 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会