統計学入門第5章の問題 5.5 正n面体の出目

2026-01-06

正 $n$ 面体の出目

正 $n$ 面体で $1, 2, \ldots, n$ の乱数を発生させるとする。この乱数の期待値、分散を求めよ。ただし、正 $n$ 面体とは、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類の立体のことである。

この問題の意味は分かりずらいと思うが、例えばサイコロの目を例に見ると良いです。サイコロの目の期待値は

\begin{align*} E(X) &= \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \end{align*}

であり、これを $正n$ 面体に拡張しただけです。

$正n$ 面体の出る目を確率変数 $X$ とすると、

\begin{align*} E(X) &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2} \end{align*}

です。

分散を求めるために、離散分布の2次のモーメントは

\begin{align*} E[X^2] &= \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n k^2 \notag \\ &= \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \notag \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}

となります。よって分散は

\begin{align*} V[X] &= E[X^2] - [E(X)]^2 \notag \\ &= \frac{n^2 - 1}{12} \end{align*}

となります。