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統計学入門 第5章の問題 5.4 最小平均二乗

統計学確率

最小平均二乗

問題

E[(X−a)2]E[(X - a)^2]を最小にするaaおよびその最小値を求めよ。

解答

E[(X−a)2]=∫−∞∞(x−a)2f(x) dx\begin{align} E[(X - a)^2] &= \int_{-\infty}^\infty (x - a)^2 f(x) \,{\rm d}x \end{align}

をaaの関数だと思ってaaで微分すると

∂E[(X−a)2]∂a=−2a∫−∞∞(x−a)f(x) dx=−2aE[(X−a)]\begin{align} \frac{\partial E[(X - a)^2]}{\partial a} &= -2a \int_{-\infty}^\infty (x - a) f(x) \,{\rm d}x \notag \\ &= -2a E[(X - a)] \end{align}

となります。この微分が0になるところが最小値なので（f(x)≥0,(x−a)2≥0f(x) \geq 0, (x - a)^2 \geq 0）、

E[(X−a)]=0\begin{align} E[(X - a)] &= 0 \end{align}

からa=E(X)a = E(X)が最小値をとるaaとなります。最後に期待値の線形性を使いました。

参考資料

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