統計学入門第5章の問題 5.3 聖ペテルスブルグの逆説

2026-01-06

聖ペテルスブルグの逆説

コインを繰り返し投げ、はじめて表が出たときに止める。それが $n$ 回目であるとき、 $2^n$ 円を得るものとする。
(i) 得られる額 $X$ の確率分布を求めよ。
(ii) $E(X)$ は存在しない（ $\infty$ である）ことを示せ。

※(ii)の結果が直感に反するので「逆説」(paradox)といわれる。この逆説は、ダニエル・ベルヌーイによって、貨幣額に対数変換を考えることにより解決された。

(i)
コインの表も裏も、一回投げるごとに $1/2$ の確率であるので、 $n-1$ 回目まで連続で裏が出るときの確率は $(1/2)^{n-1}$ である。その次の $n$ 回目に表が出る確率は $1/2$ であるので、得られる額 $X$ の確率分布は

\begin{align} P(X=2^n) &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \\ \end{align}

(ii)

\begin{align*} E(X) &= \sum_{n=1}^\infty 2^n P(X=2^n) \\ &= \sum_{n=1}^\infty 2^n \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \\ &= \sum_{n=1}^\infty 1 \\ &= \infty \end{align*}

したがって期待値は存在しません。