Gauss分布のモーメント生成母関数

Gauss分布

$$\begin{align} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left[ - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right] \end{align}$$

が与えられた時、$n$次のモーメント$\braket{(x-\mu)^n}$が

$$\begin{align} \braket{(x-\mu)^n} &= \begin{cases} (n-1)!!\sigma^n , & \text{$n$ is even} ,\\ 0, & \text{$n$ is odd} \,.\\ \end{cases} \end{align}$$

となります。

定義より、平均値周りの$n$次のモーメントは

$$\begin{align} \braket{(x-\mu)^n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^\infty dx \, (x - \mu)^n e^{-(x - \mu)^2/(2\sigma^2)} \end{align}$$

で与えられます。

$n$が奇数次のとき$\braket{(x - \mu)^n}$は

$$\begin{align} \braket{(x-\mu)^n} &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^\infty dx \, (x - \mu)^n e^{-(x - \mu)^2/(2\sigma^2)} \notag \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^\infty dy \, y^n e^{-y^2/(2\sigma^2)} \notag \\ &= 0 \end{align}$$

です。ここで、$x$に対し$y = x - \mu$と変数変換を施しました。

$n$が偶数次の場合の積分を求める。Gauss積分の結果が

$$\begin{align} \sqrt{\frac{\pi}{a}} = \int_{-\infty}^\infty dy\, e^{-ay^2} \end{align}$$

なので、これを$a$で偏微分すると

$$\begin{align} - \frac{1}{2}\sqrt{\pi} a^{-3/2} = - \int^\infty_{-\infty} dy\, y^2 e^{- a y^2} \end{align}$$

となります。 さらに繰り返し微分することで

$$\begin{align} (-1)^2 \sqrt{\pi} \frac{1 \cdot 3}{2^2} a^{-5/2} &= (-1)^2 \int^\infty_{-\infty} dy\, y^4 e^{- a y^2} \notag \\ (-1)^3 \sqrt{\pi} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2^3} a^{-7/2} &= (-1)^3 \int^\infty_{-\infty} dy\, y^6 e^{- a y^2} \notag \\ &\vdots \notag \\ \sqrt{\pi} \frac{(2n - 1)!!}{2^n} a^{-(2n + 1)/2} &= \int^\infty_{-\infty} dy\, y^{2n} e^{- a y^2} \notag \\ \end{align}$$

が分かります。

ここで、$m = 2n$と$a = 1/2\sigma^2$であることを使うと

$$\begin{align*} \sqrt{\pi} \frac{(m - 1)!!}{2^{m/2}} \left( \frac{1}{2\sigma^2} \right)^{-(m + 1)/2} &= \int_{-\infty}^{\infty} dy\, y^m e^{- y^2/(2\sigma^2)} \\ \Leftrightarrow \sqrt{\pi} \frac{(m - 1)!!}{2^{m/2}} 2^{(m+1)/2} \sigma^{m + 1} &= \int_{-\infty}^{\infty} dy\, y^m e^{- y^2/(2\sigma^2)} \\ \Leftrightarrow (m - 1)!! \sqrt{2\pi} \sigma^{m + 1} &= \int_{-\infty}^{\infty} dy\, y^m e^{- y^2/(2\sigma^2)} \\ \Leftrightarrow (m - 1)!! \sigma^m &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }\int_{-\infty}^{\infty} dy\, y^m e^{- y^2/(2\sigma^2)} \end{align*}$$

です。よって、$m$を$n$に再びラベルすれば$(2)$が得られます。