統計学入門 第4章の問題 4.1 de Méréの問題

問題

(i) さいころを$4$回投げたとき、$6$の目が少なくとも$1$回出るのに賭けるか、$1$回もでないのに賭けるか。
(ii) さいころを同時に$2$個を$24$回投げるとき、$(6, 6)$の目が少なくとも$1$回出るのに賭けるか、$1$回もでないのに賭けるか。

解答

(i) それぞれの出る目は独立です。「少なくとも$1$回は$6$の目が出る」の余事象は「$6$の目が一度も出ない」なので、シンプルな後者を考えます。 $6$の目が一度も出ない確率は

$$\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \simeq 0.4822$$

に対し、「少なくとも$1$回は$6$の目が出る」確率は

$$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{671}{1296} \simeq 0.5177$$

となります。よって、「少なくとも$1$回は$6$の目が出る」方に賭けるほうが妥当です。

(ii)
$1$回投げて$(6,6)$の組がでるのは$1/36$です。よって、一度も$(6,6)$の組が出ない確率は

$$\begin{align} \left(\frac{35}{36}\right)^{24} &= \left(1 - \frac{1}{36}\right)^{24} \end{align}$$

となります。電卓があるならば冪を計算するだけでいいですが、ここでは電卓がないものとします。$(35/36)^{24}$が$1/2$より大きいかどうかが肝になります。

これを示すためにはいくつか準備が必要です。まずは

$$\begin{align} \log(1 - x) \geq - \frac{x}{1 - x} \end{align}$$

が$0 \leq x \leq 1$の間で成り立つことを示します。$f(x)$を

$$\begin{align} f(x) = \log(1 - x) + \frac{x}{1 - x} \end{align}$$

と置くと、まず明らかに$f(0) = 0$です。この関数が単調増加であれば、$0 \leq x \leq 1$の間で不等式$(2)$が成り立つことが言えます。$f(x)$を$x$で微分すると

$$\begin{align} f^\prime(x) &= \frac{1}{1 - x} \cdot (-1) + 1 \cdot \frac{1}{ 1 - x } + x \cdot \frac{-1}{(1 - x)^2} \cdot (-1) \notag \\ &= \frac{x}{(1 - x)^2} \geq 0 \end{align}$$

となります。よって、$f(x)$は単調増加であるので、不等式$(2)$が成り立つことが言えました。

次に不等式$(2)$に対して$x = 1/36$とおくと、

$$\begin{align} \log\left(\frac{35}{36}\right) \geq - \frac{1}{35} \end{align}$$

です。したがって、両辺に24をかけて$e$をとると

$$\begin{align} \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \geq e^{-24/35} \end{align}$$

となります。ここまでくると、$e^{-24/35}$が$1/2 = e^{-\log 2}$より大きいか小さいかを評価するだけでいいです。そしてそれは$24/35$と$\log 2$を比較する問題になります。

これは典型的な積分で評価できます。

$$\begin{align} \int_1^2 \frac{1}{x} \, {\rm d}x > \int_1^2 \left[ 1 - (x - 1) + \frac{1}{2} (1 - x)^2 \right] \, {\rm d}x \end{align}$$

を計算すると、左辺は明らかに$\log 2$となり、右辺は

$$\begin{align} \int_1^2 \left[ 1 - (x - 1) + \frac{1}{2} (1 - x)^2 \right] \, {\rm d}x &= \int_0^1 \left[ 1 - t + \frac{1}{2} t^2 \right] \, {\rm d}t \notag \\ &= \left[ t - \frac{1}{2} t^2 + \frac{1}{6} t^3 \right]_0^1 \notag \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right) - 0 \notag \\ &= \frac{2}{3} \end{align}$$

です（※）。これから$\log 2 \leq 2/3 < 24/35$が成り立つので、

$$\begin{align} \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \geq e^{-24/35} \geq e^{-\log 2} = \frac{1}{2} \end{align}$$

となります。よって、$(6,6)$の組が一度も出ない確率は$1/2$より大きいので、$(6,6)$の組が一度も出ないのに賭けるほうが妥当です。

（※）

参考資料

• 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会